# Math

**Repository Path**: fakerlove/math

## Basic Information

- **Project Name**: Math
- **Description**: No description available
- **Primary Language**: Unknown
- **License**: MulanPSL-1.0
- **Default Branch**: master
- **Homepage**: None
- **GVP Project**: No

## Statistics

- **Stars**: 2
- **Forks**: 0
- **Created**: 2020-08-30
- **Last Updated**: 2022-12-18

## Categories & Tags

**Categories**: Uncategorized

**Tags**: None

## README

<font color=red size=5>文章链接</font>

~~~bash
https://gitee.com/fakerlove/math
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# 第一章 函数，连续，极限

## 1.1 函数

### 概念和常见的函数

常见函数分类

* 符号函数
* 取整函数
* 隐函数
* 分段函数
* 基本初等函数
  + 常值函数
  + 幂函数
  + 三角函数
  + 指数函数
  + 对数函数
  + 反三角函数

### 性质

* 周期性
* 单调性
* 奇偶性
* 有界性

## 1.2 极限

### 数列极限

$$
定义\;\;\;\lim_{\Delta x \to \infty} =A
$$

$$
\forall \epsilon>0 ,\exists N>0 ,当n>N时，恒有|X_n-A|< \epsilon
$$





### 函数极限

$$
定义\;\;\;\lim_{\Delta x  \to \infty}f(x)=A
$$

$$
\forall \epsilon >0 ,\exists N ， 当n>N 时，恒有| f(n)-A|<\epsilon
$$



### 性质

* 有界性
* 保号性$\lim_{\Delta x \to \infty}f(x)=A \; 如果A>0,那么\exists N>0,当n>N 时，f(n)>0$$

### 易错问题

* 分段函数的左极限和右极限
* $e^{\infty}型的极限$
* $arctan(\infty)型极限 \qquad  arctan(x)_{x \to +\infty}=\frac{\pi}{2}$



### 极限和无穷小的关系

* 概念
* 无穷小的比较
  * 高阶$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$
  * 低阶$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$
  * 同阶$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A; \;A\ne 0$
  * 等价$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$
* 性质
  + 有限个无穷小量依旧是无穷小
  + 有限个无穷小量的积依旧是无穷小
  + 有界变量乘以无穷小依旧是无穷小

### 极限存在准则

* 夹逼准则

  一般用在n项和 的地方

* 单调有界准则

  单调增，有上界必有极限

  单调减，有下界必有极限

### 求极限方法8种

* 利用基本极限求极限

 $\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$   $\lim_{\Delta x \to 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$  $\lim_{\Delta x \to \infty} \sqrt [n] n=1$

* 利用等阶无穷小代换求极限

  | 原式                                | 无穷小                |
  | ----------------------------------- | --------------------- |
  | $e^{x}-1,tanx,sinx,arcsinx,arctanx$ | $x$                   |
  | $1-cosx$                            | $\frac{1}{2} x^2$     |
  | $1-cos^\alpha x$                    | $\frac{\alpha}{2}x^2$ |
  | $(1+\beta x)^\alpha-1$              | $\alpha \beta x$      |
  | $\log_a(1+x)-1$                     | $\frac{x}{lna}$       |
  | $tanx-x$                            | $\frac{1}{3} x^3$     |
  | $ x-ln(1+x)$                        | $\frac{1}{2}x^2$      |
  | $x-sinx$                            | $\frac{x^3}{6}$       |
  
* 利用有理运算法则求极限

* 利用洛必达求极限

* 利用泰勒公式求极限

  常见的泰勒展开式(拉格朗日余项)

  | 原式            | 展开式                                                                                                   |
  | --------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
  | $\frac{1}{1-x}$ | $=1+x +x^2+x^3+x^n+…… \\=  \sum_{n=0}^{\infty} x^n$                                                      |
  | $e^x$           | $=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$                               |
  | $cosx$          | $=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$       |
  | $sinx$          | $=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^n}$ |
  | $ln(1+x)$       | $=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\\=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n}$                   |
  | $tanx$          | $x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$                                                                                 |
  | $arctanx$       | $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$                                                                   |
  | $(1+x)^\alpha$  | $1+\alpha x+\frac{ \alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+……+ \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-n+1)}{n!}x^n$            |
  |                 |                                                                                                          |

  

* 利用夹逼准则求极限

* 利用单调有界准则求极限

* 利用定积分求极限





## 1.3 连续

### 定义

$$
若 \lim_{\Delta x \to x_0} f(x)=f(x_0) 则称y=f(x)在点x_0处连续
$$

### 间断点

* 定义

$$
若f(x)在x_0某去心领域有定义，但在x_0处不连续，则称x_0为f(x)的间断点
$$

* 分类

  + 第一类间断点：左右极限均存在

    可去间断点：左极限=右极限

    跳跃间断点：左极限 不等于 右极限

  + 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在

    无穷间断点

    震荡间断点



### 运算和性质

* 零点定理
* 介值定理





# 第二章 导数



## 2.1 导数和微分概念



### 导数定义

$$
f^\prime(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x）-f(x_0)}{\Delta x}
$$

### 微分定义

$$
如果\Delta y=f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)\;可以表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\;\;  (\Delta \to 0)\\则称 函数f(x)在点x_0处可微 称A\Delta x 为微分，记为dy=A\Delta x
$$



定理二
$$
函数y=f(x)在点x_0 处可微的充分必要条件是f(x_0)在点x_0处可导，且有 \\ dy=f^\prime(x_0)\Delta x=f^\prime(x_0)dx
$$





### 几何意义

* 斜率

* 切线方程

* 法线方程


### 连续，可导，可微关系

$可导\Leftrightarrow 可微$

$可导\Rightarrow 连续$

$可微\Rightarrow 连续$

一阶可导 推不出 一阶导函数连续

一阶可导 推不出 一阶极限存在



## 2. 2 导数公式和求导法则

### 基本初等函数的导数

| 原函数                                                       | 导数                                                         |
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ |
| $sinx$                                                       | $cosx$                                                       |
| $x^\alpha$                                                   | $\alpha x^{\alpha -1}$                                       |
| $a^x$                                                        | $a^x lna$                                                    |
| $e^x$                                                        | $e^x$                                                        |
| $\log_{a}x$                                                  | $\frac{1}{xlna}$                                             |
| $\ln\mid x \mid$                                             | $\frac{1}{x}$                                                |
| $cosx$                                                       | $-sinx$                                                      |
| $tanx$                                                       | $=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x$                                   |
| $\frac{1}{tanx}=cotx$                                        | $-\frac{1}{sin^2x}=-csc^2x$                                  |
| $secx=\frac{1}{cosx}$                                        | $secxtanx=\frac{sinx}{cos^2x}$                               |
| $cscx$                                                       | $-cscxcotx$                                                  |
| $arcsinx$ ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/2hkjhdakasdhasdaq.png) | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/4-16300289642301.png) |
| $arccosx$![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/1-16300289887033.png) | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/5-16300289838372.png) |
| $arctanx$![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/3-16300289920644.png) | $\frac{1}{1+x^2}$![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/6-16300289952495.png) |
| $arccotx$                                                    | $-\frac{1}{1+x^2}$                                           |

### 求导法则

* 有理运算法则

 $(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$

 $(uv)^\prime=u^\prime v+uv^prime$

 $\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^\prime v-uv^\prime}{v^2}$

* 复合函数求导法

* 隐函数求导

 $F(x,y)=0 \; \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

* 反函数求导

 $\varphi^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}$

* 参数方程
$$
  y=y(x)是由\begin{cases}x=\phi(x) \\ y=\varphi(x)\end{cases},(\alpha<t<\beta)确定的函数，
  \\
  则\frac{dy}{dx}=\frac{\varphi^\prime(t)}{\phi^\prime(t)}
$$

* 对数求导法

  一般应用成幂指函数

### 规律

$设f(x)可导$

$f(x) 是奇函数，则f^\prime(x)是偶函数$

$f(x)是偶函数，则f^\prime(x)是奇函数$

$f(x)是周期函数，则f^\prime(x)也是周期函数$





## 2.3 高阶导数



$(sinx)^{(n)}=sin(x+n\frac{\pi}{2})$

$(u+v)^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)}$

$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$





### 求n 阶导数

* 公式
* 归纳
* 泰勒公式



## 2.4 相关性



## 2.5 常见题型

* 导数的定义
* 复合函数，隐函数，参数方程求导
* 高阶导数
* 导数的应用



# 第三章 微分中值定理及导数应用

## 3.1 微分中值定理

### 费马定理

$如果函数f(x)在x_0处可导，且在x_0 处取得极值,那么f^\prime(x_0)=0$

### 罗尔定理

$若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则\exists \xi \in(a,b) ,f^\prime(\xi)=0$



### 拉格朗日定理

$设f(x)在闭区间[a,b]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点\xi \in (a,b) 使得f(b)-f(a)=f(\xi)(b-a)$



### 柯西中值定理

$设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g^\prime(x) \neq 0,x\in (a,b),至少存在一点 \xi \in (a,b),使得 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^\prime (x)}{g^\prime(x)}$



### 皮亚诺余项泰勒公式(局部)

* 极限
* 极值

* 麦克劳林公式

### 拉格朗日余项泰勒公式(整体)

* 不等式
* 最值





## 3.2 导数的应用

### 单调性

$f^\prime(x)>0 \; f(x) 递增$

$f^\prime(x)<0 \; f(x) 递减$

### 极值点



### 驻点

一阶导数为零。

$f^\prime(x)=0$





### 最值

### 曲线的凹凸性



### 拐点

使函数凹凸性改变的点。

二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

$f^{\prime \prime}(x)<0 \;凸函数$

$f^{\prime \prime}(x)>0  \;凹函数$



### 渐进线

* 水平渐进线，最多两条

 $\lim_{x \to \infty }f(x)=A$

* 垂直渐近线，无穷多条

 $\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty$

* 斜渐近线

 $\lim_{x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=a \\ b=\lim_{x \to \infty} f(x)-ax\\ y=ax+bs是y=f(x)的渐近线$





### 曲率

* 参数方程
  $$
  K(t)=\frac{\mid x^\prime(t)y^{\prime\prime} (t)-x^{\prime \prime}y^\prime(t)\mid}{\left((x^\prime (t))^2+(y^\prime(t))^2 \right)^{\frac{3}{2}}}
  $$

* 直角坐标系
  $$
  K=\frac{\mid y^{\prime \prime}\mid }{(1+y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}
  $$
  



* 空间参数曲线 ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/1.svg) 的曲率

  ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/2sdasdadqwd21dsadad.svg)
  
  ## 3.3 题型
  
* 求极限
* 函数的极值和最值，曲线的凹向和拐点
* 曲线的渐近线
* 方程的根
* 不等式的证明
* 中值定理的证明题



# 第四章 不定积分





## 4.1 不定积分概念

$\int f(x)d(x)=F(x)+C$



* 定理

 $若f(x)在区间I 上连续，在则f(x)在区间I 上一定存在原函数$

 $若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数$

* 

## 4.2 基本公式

| 积分                                 | 原函数                                      |
| ------------------------------------ | ------------------------------------------- |
|                                      |                                             |
| $\int \frac{1}{cosx}dx$              | $\ln\mid secx+tanx\mid+C$                   |
| $\int cosxdx$                        | $sinx+C$                                    |
| $\int \frac{1}{sinx}dx$              | $\ln \mid tan\frac{x}{2} \mid +C$           |
| $\int \alpha x^{\alpha -1} dx$       | $x^\alpha +C$                               |
| $\int a^x lna dx$                    | $a^x +C$                                    |
| $\int e^x dx$                        | $e^x +C$                                    |
| $\int \frac{1}{xlna} dx$             | $\log_{a}x +C$                              |
| $\int \frac{1}{x} dx$                | $\ln\mid x\mid +C$                          |
| $\int -sinxdx$                       | $cosx+C$                                    |
| $\int sec^2x dx$                     | $tanx+C$                                    |
| $\int -csc^2x dx$                    | $\frac{1}{tanx}=cotx+C$                     |
| $\int secxtanx dx$                   | $secx=\frac{1}{cosx}$                       |
| $\int -cscxcotx dx$                  | $cscx+C$                                    |
| $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$      | $arcsinx+C$                                 |
| $\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$     | $arccosx+C$                                 |
| $\int \frac{1}{1+x^2} dx$            | $arctanx+C$                                 |
| $\int -\frac{1}{1+x^2}dx$            | $arccotx+C$                                 |
| $\int \frac{dx}{a^2+x^2}$            | $\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$            |
| $\int\frac{dx}{x^2-a^2}$             | $\frac{1}{2a}ln\mid \frac{x-a}{x+a}\mid +C$ |
| $\int \frac{dx}{a^2-x^2}  $          | $\frac{1}{2a}ln\mid \frac{a+x}{a-x}\mid+C$  |
| $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$     | $arcsin\frac{x}{a}+C$                       |
| $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$  | $ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C$                 |
| $\int_{0}^\infty=x^ne^{-x}dx$        | $n!$                                        |
| $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$ | $\sqrt{\pi}$                                |







## 4.3 三种积分方法

### 1. 第一类换元法(凑微分)

$\int f(u)du=F(u)+C$

* 例题

 $\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx$

### 2. 分部积分

$\int u dv=uv-\int vdu$

适用于两类不同函数相乘，反对幂指三

### 3. 第二类换元法

$$
设x=\phi(x) 是单调的，可导的函数，并且\phi^\prime(t)\ne 0,又\int f[\phi(t)]\phi^\prime(t)dt=F(t)+C \\
则\int f(x)dx=\int f[\phi(t)]\phi^\prime(t)dt=F(t)+C
$$



* $\sqrt{a^2-x^2}$   $x=asint$
* $\sqrt{a^2+x^2}$  $x=atant$
* $\sqrt{x^2-a^2}$  $x=asect$

## 4.4 三种常见可积函数的积分

### 1. 有理函数的积分

$\int R(x)dx$ ，一定能被积出来

* 一般法，部分分式法

 $\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx$

 $\int \frac{dx}{x(x^9+1)}$

### 2. 三角有理式积分

$\int R(sinx,cosx) dx$

* 一般法，万公式$tan\frac{x}{2}=t$
* 特殊法，三角换元，分部

### 3. 简单无理数积分

### 4. 图片解析

| 函数                                               | 图像                                                         |
| -------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
| $sin\frac{1}{x}$                                   | ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/8-16300290426596.png) |
| $\frac{sinx}{x}$                                   | ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/9-16300290467697.png) |
| $\frac{1}{x}sin\frac{1}{x}$                        | ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/10-16300290503738.png) |
| $\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}渐近线有垂直还有其他的$ | ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/7-16300290538649.png) |
| $\frac{x}{sinx}$                                   | ![](https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/11-163002906232810.png) |
|                                                    |                                                              |
|                                                    |                                                              |
|                                                    |                                                              |
|                                                    |                                                              |



# 第五章 定积分和反常积分



## 5.1 定积分

### 题型

* 定积分概念，性质和几何意义
* 变上限定积分
* 定积分的计算

### 概念性质



* 定积分存在的充分条件

 $f(x)在[a,b]上连续，则f(x)可积$

 $f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积$

 $f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积$

* 不等式

 $m(b-a)\leq \int_{a}^bf(x)dx \leq M(b-a)$

* 中值定理



$$
f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界\\ f(x)在x=x_0 处连续，则\mid f(x)\mid 在x=x_0 处连续
$$






### 积分上限函数

$设f(x) 在[a,b] 上连续，则\int_a^xf(t)dt 在[a,b]上可导且\left( \int_a^xf(t)dt\right)^\prime=f(x)$



$\left(\int_{e^x}^{x^2}f(t)dt\right)^\prime=\\\ \left( \int_{e^x}^0f(t)dt+\int_0^{x^2}f(t)dt\right)^\prime$

$总结:\left(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt=f(\phi(x)\phi^\prime(x)-f(\varphi(x))\phi^\prime(x)\right)$

例题

$\int_0^x(x-t)f(t)dt$

$\int_1^2f(x+t)dt$

### 定积分的计算

* 牛顿-莱布尼兹公式

 $\int_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)$

* 换元法

* 分布积分法

* 利用周期性，奇偶性

* 利用公式

  | 名称       |                                                              |
  | ---------- | ------------------------------------------------------------ |
  | 华莱士公式 | $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx = \begin{cases} \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}……\frac{1}{2}\frac{1}{2}\pi \; (n 为偶数) \\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ……\frac{4}{5} \frac{2}{3} \;(n 为大于1 的奇数) \end{cases}$ |
  | 伽马公式   | $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$ <br>$\Gamma(x+1)=x                                                                                                                                                                                     \Gamma(x)$<br>$\Gamma(n+1)=n!$<br>$\Gamma(1)=1\;\Gamma(\frac{1}{2}=\sqrt{\pi})$ |
  |            | $\int_0^\pi xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx$    |





### 可爱因子



$\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+………\frac{1}{n+n})=$

* 先提$\frac{1}{n}$

* 然后看$\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n} \sum_i^\infty f(\xi_i)$

* $f(\xi_i) 就是积分$

* 此题就是$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\frac{1}{1+\frac{3}{n}}+……\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right]$

 $=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx$

看变化部分 

$n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=0 就用夹逼定理$

$n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=A\ne 0 就用定积分$



## 5.2 反常积分

### 无穷区间上的积分

$\int_a^{+\infty}=\lim_{t \to +\infty}\int_a^tf(x)dx$

$\int_{-\infty}^{b}=\lim_{t \to -\infty}\int_t^bf(x)dx$



常用结论
$$
\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^P}dx;\begin{cases} P>1\; 收敛 \\ p\leq 1\; 发散\end{cases}
$$


### 无界函数的反常积分

$设a为f(x)的无界点，\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^bf(x)dx$



常用结论
$$
\int_a^{b} \frac{1}{(x-a)^P}dx;\begin{cases} P<1\; 收敛 \\ p\ge 1\; 发散\end{cases}
$$


### 题型

* 反常积分的敛散性
* 反常积分的计算

# 第六章 定积分应用



## 6.1 几何应用

### 平面图形的面积

* 坐标系

 $\int_a^b[f(x)-g(x)]d x$

* 极坐标

 $\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta \rho^2(\theta)d\theta$


### 旋转体体积

* 绕x轴转

 $V_x=\pi\int_a^bf^2(x)d x$

  如果是参数方程 直接往里面带

* 绕y轴转

 $V_y=2\pi  \int_a^bx f(x) d x$

* 万能公式

$$
V=2\pi\iint_D r(x,y)d\sigma
$$

### 曲线弧长

* 坐标系

 $s=\int_a^b \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x$

* 参数方程

 $s=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}} d t$

* 极坐标

 $s=\int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2+\rho^{\prime 2}}d \theta$



### 旋转体侧面积


$$
S=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}d x
$$


## 6.2 物理应用

### 压力

### 变力做功

### 引力



# 第七章 微分方程

## 7.1 常微分方程的基本概念

* 微分方程
* 微分方程的阶
* 微分方程的解
* 微分方程的通解
* 微分方程的特解

## 7.2 一阶微分方程

* 可分离变量的方程

  $y^\prime=f(x)f(y)$

* 齐次方程

   $\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$

   $令\frac{y}{x}=u\\ u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)$

* 线性方程

   $y^\prime+P(x)y=Q(x)$

$$
通解 y=e^{-\int p(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]
$$

* 伯努利方程

 $y^\prime +P(x)y=Q(x)y^\alpha \\ 令y^{1-\alpha=u}$

* 全微分方程

 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

  + 偏积分
  + 凑微分
  + 线积分



## 7.3 可降阶的高阶方程

* $y^{\prime \prime}=f(x)$

* $y^{\prime \prime}=f(x,y^\prime)$

  $令y^\prime=p \\ y^{\prime \prime}  =\frac{d p}{d x}$

* $y^{\prime \prime}=f(y,y^\prime)$

  $令y^\prime=p,y^{\prime \prime}=P\frac{dP}{dy}$


## 7.4 高阶线性微分方程

### 齐次方程

$y^{\prime \prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=0$

通解为
$$
如果y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)
$$

### 非齐次方程

$y^{\prime \prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f(x)$

通解为
$$
如果y^*为非齐次方程是一个特解，y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)
$$


### 常系数齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=0$

特征方程

$r^2+pr+q=0\\ r1,r2 为特征方程的两个根$



| 情况     |                             | 解                                                |
| -------- | --------------------------- | ------------------------------------------------- |
| 共轭复根 | $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$ | $y=e^{\alpha x}(C_1cos(\beta x)+C_2sin(\beta x))$ |
| 相等根   | $r_1\ne r_2$                | $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$                       |
| 不相等根 | $r_1=r_2=r$                 | $y=e^{rx}(C_1+C_2x)$                              |



### 常系数非齐次线性微分方程

$y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=f(x)$

|                                                                    |                                                                        |                                                                                                                                                        |
| ------------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
| $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$                                         | $y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$<br>                                       | $特征方程的根和没有\lambda 相同\;k=0$<br/>特$特征方程的根和没有\lambda 相同，但是只有一个\;k=$1<br/>$特征方程的根和 有\lambda 相同,且有两个\;k=2$<br/> |
| $f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)cos\beta x+P_n^{(2)}(x)sin\beta x]$ | $y^*= x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)cos\beta x+R_m^{(2)}(x)sin \beta x]$ | $m=max{l,n},k看共轭复根重复个数$                                                                                                                       |



## 7.5 题型

* 微分方程求解
* 应用题
* 综合题



# 第八章 多元函数微分学

## 8.1 重极限，连续，偏导数，全微分



### 二元函数



### 二元函数的极限

* 取绝对值，然后夹逼准则

###  多元函数的连续性

* 概念

 $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

* 性质

  多元连续函数 和，差，积，商依旧是连续函数

  复合函数依旧为连续函数

  多元初等函数再其定义域内连续
  
* 计算二重极限

  + 极限性质

### 偏导数(不会)

* 定义

 $f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}f(x,y_0)|_{x=x_0}$

 $f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\frac{d}{dy}f(x_0,y)|_{y=y_0}$

  求导数，先带后求。求x在某处偏导数是否存在


$$
先带后求，f^\prime _x(x,0),在带x=0 \\ 直接先求导数 f^\prime_x ,然后再带x=0,y=0 ,如果两个相等，说明偏导数\frac{\partial f}{\partial x}在(x_0,y)处连续
$$


### 全微分

$若\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$

可微存在的必要条件
$$
如果z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微，则在点(x_0,y_0)处 \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}必定存在 ，且\\
dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy
$$
可导可以推出两个偏导数都存在，
$$
在f(x,y)在x_0,y_0 处可微，\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=0,\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0
$$


* 用定义判定可微性

 $f_x(x_0,y_0)与f_y(x_0,y_0)是否都存在$

 $\lim_{(\Delta x,\Delta y )\to(0,0)} \frac{\Delta z-|f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} 是否为零$

### 连续，可导，可微的关系

$如果z=f(x,y)的偏导数,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}在点(x_0,y_0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微$

连续 推不出 偏导

偏导 推不出 连续

连续 推不出 可微

$可微 \Rightarrow 偏导$

$可微 \Rightarrow 连续$



### 题型

连续性，可导性，可微性





## 8.2 多元函数微分法

### 复合函数微分法

$$
设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数，\\函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数，\\则z=f[u(x,y),z(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有\\
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}
$$



全微分不变性

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$



### 隐函数微分法

$由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y),$

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^\prime}{F_z^\prime}$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^\prime}{F_z^\prime}$



## 8.3 多元函数的极限和最值

### 无约束极值


$$
设z=f(x,y)在点（x_0,y_0)存在偏导数，且(x_0,y_0)为f(x,y)极值点，则\\
f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0,
$$


$$
f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0, 这样子的点叫做驻点，极值点 \Rightarrow 驻点 ，\\ 在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的
$$


求极值
$$
令f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0,\\ 求出x,y 的值 \\ 然后求A=f^\prime_{xx},B=f^\prime_{xy},C=f^\prime_{yy},\\ AC-B^2>0,有极值，A>0 有极小值，A<0有极大值\\ AC-B^2<0,表示没有极值，\\ AC-B^2=0，有待进一步商讨
$$



### 条件极值与拉格朗日乘法

$函数f(x,y)在条件 \varphi(x,y)=0条件下的极值$



拉格朗日函数
$$
令F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)
\\
\begin{cases}
F_x=f_x^\prime(x,y)+\lambda \varphi_x^\prime(x,y)=0\\
F_y=f_y^\prime(x,y)+\lambda \varphi_y^\prime(x,y)=0\\
F_\lambda=\varphi(x,y)=0
\end{cases}
$$
$函数f(x,y)在条件 \varphi(x,y)=0,\phi(x,y,z)=0条件下的极值$



$令F(x,y,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \varphi(x,y,z)+\mu \phi(x,y,z)$

### 最大最小值



### 题型

* 求极值
* 求最大最小值
* 最大值和最小值应用题



## 8.4 伯努利方程

$$
y^\prime+P(x)y=Q(x)y^n \\ y^{-n}y^\prime +p(x)y^{1-n}=Q(x) \\ 令u=y^{1-n},方程就变成了\\ \frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解
$$



## 8.5 欧拉方程

$$
x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}++p_{n-1}xy^\prime+p_n=f(x)\\ 令x=e^t,t=lnx,\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}
$$





# 第九章 二重积分

## 9.1 二重概念的概念与性质

$$
\iint_Df(x,y)d\sigma =\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta \sigma_i
$$



## 9.2 二重积分计算

* 利用直角坐标系

  先y后x 

  先x后y

* 利用极坐标

 $先\rho 后\theta \iint_D f(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho cos\theta,\rho sin\theta)\rho d\rho$

* 利用极坐标计算的被积函数

 $f(\sqrt{x^2+y^2},f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$

  适合用极坐标的积分域，

 $x^2+y^2 \leq R^2$

 $r^2\leq x^2+y^2\leq R^2$

 $x^2+y^2 \leq 2ax$

* 利用对称性和奇偶性计算若积分域D关于y 轴对称，则
$$
\iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases}
  2\iint_{D_x\ge0}f(x,y)d\sigma ;f(-x,y)=f(x,y)\\ 0;f(-x,y)=-f(x,y)
  \end{cases}
$$

* 利用变量对称性计算

  若D 关于y=x 对称,则

 $\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\iint_D f(y,x)d\sigma$

  

## 9.3 题型

* 累次积分交换次序及计算
* 二重积分的计算



# 第十章 无穷级数

## 10.1 常数项级数

### 级数的概念与性质

* 概念

 $\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+u_3+……+u_n+……$

 $S_n=\sum_{i=1}^n u_i=\lim_{n \to \infty}s_n$

  极限存在，就收敛

  极限不存在，就发散

* 性质

 $若\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛于s,则\sum_{n=1}^\infty ku_n 也收敛，且其和为ks$

 $收敛 \pm 发散=发散$

 $发散\pm 发散=不确定$

  在级数中去掉，加上或改变有限项不影响级数的敛散性

  收敛级数加括号仍收敛且和不变

  



### 级数的审敛准则

* 正项级数

 $\sum_{n=1}^\infty u_n收敛 \Leftrightarrow s_n 上有界$

  判别方法

  * 比较判别法

   $u_n\le v_n$

   $\sum_{n=1}^\infty v_n 收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛$

  * 比较法极限形式

   $\lim_{n \to \infty }\frac{u_n}{v_n}=l$

   $\begin{cases} 0<l< \infty ,则\sum_{n=1}^{\infty}u_n 与\sum_{n=1}^{\infty}v_n 同敛散 \\ l=0 ，则\sum_{n=1}^{\infty}v_n 收敛\Rightarrow u_n收敛，\sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}v_n 发散\end{cases}$
    
  * 常用级数

   $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},p>1 时收敛，p\le 时发散$

   $\sum_{n=1}^{\infty}a q^n，q<1 收敛，当q \ge 1 发散$

  * 比值法

   $\lim_{n \to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$

  * 根值法

   $\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\rho$

* 交错级数

  莱布尼兹准则
$$
  \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0 \\(1) u_n单调递减 \\(2)\lim_{n \to \infty }u_n=0
  \\ 则\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n 收敛
$$

* 任意项级数

  绝对收敛和条件收敛

 $\sum_{n=1}^\infty|u_n|收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛，此时\sum_{n=1}^\infty u_n 绝对收敛$

 $若\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛， \sum_{n=1}^\infty |a_n|发散，则称\sum_{n=1}^\infty a_n 条件收敛$

  

### 题型

* 常数项级数敛散性的判定



## 10.2 幂级数

### 收敛半径 收敛区域 收敛域

$\sum_{n=1}^\infty a_nx^2=a_0+a_1x+a_2x^2+……+a_nx^n$



* 阿贝尔定理

$$
若\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 当x=x_0(x\ne 0)时收敛，则当|x|<|x_0| 时，\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 绝对收敛\\
若\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 当x=x_0(x\ne 0)时发散，则当|x|>|x_0| 时，\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 发散
$$

*$对于任何x\in (-\infty,+\infty)都收敛$
* 仅在x=0处收敛
*$存在一个正数R,当|x|<R 时绝对收敛，当|x|>R时发散$
*$若幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 处条件收敛，则点x_0 必为该幂级数收敛 区间(-R,R)的一个端点$

*$\lim_{n \to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho}$
*$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho}$

### 幂级数的性质


$$
设\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 的收敛半径为R_1,\sum_{n=0}^\infty b_nx^n 收敛半径为R_2,令R=min{R_1,R_2},则当x\in(-R,R)
$$

* 加减法

$$
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n\pm b_n)x^n
$$

*  可积性
  和函数S(x)在（-R,R)上可积，且可逐项积分，半径不变

###  函数的幂级数展开

$$
如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n ,则其展开式是唯一的 \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n, \\f(x)在x=x_0处的泰勒级数
$$



**常见的级数展开**



| 原式            | 展开式                                                                                                   |
| --------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $\frac{1}{1-x}$ | $=1+x +x^2+x^3+x^n+…… \\=  \sum_{n=0}^{\infty} x^n$                                                      |
| $e^x$           | $=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$                               |
| $cosx$          | $=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$       |
| $sinx$          | $=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^n}$ |
| $ln(1+x)$       | $=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\\=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n}$                   |
| $tanx$          | $x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$                                                                                 |
| $arctanx$       | $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$                                                                   |
| $(1+x)^\alpha$  | $1+\alpha x+\frac{ \alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+……+ \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-n+1)}{n!}x^n$            |

 展开方法

* 直接展法

* 间接展开法

  根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导）及变量代换等方法，求的所给函数的展开式

### 题型

* 求收敛半径 收敛区间及收敛域
* 将函数展开为幂级数
* 级数求和



## 10.3 傅里叶级数

### 傅里叶系数与傅里叶级数

$$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx+b_n sinnx)
$$



### 收敛定理

$$
设f(x)在[-\pi,\pi]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在[-\pi,\pi]上处处收敛，且收敛于\\
S(x)=f(x)， 当x=为f(x)的连续点\\
S(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} ，当x为f(x)的间断点\\
S(x)=\frac{f((-\pi)^+)+f((\pi)^-)}{2},当x=\pm \pi
$$



### 函数展开为傅里叶级数

* $[-\pi,\pi]上展开$

  $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\
  b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\
  $$

* $[-\pi,\pi]上就奇偶函数的展开$

* $f(x)为奇函数$

   $a_n=0\\ b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……$

* $f(x)为偶函数$
   $a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=0 ，n=1,$

* $[0,\pi]上展开为正弦函数$

*  $[-l,l]上展开$

  $a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos(\frac{n\pi x}{l})dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin(\frac{n\pi x}{l})dx,n=1,2,3,……$

* $[-l,l]上奇偶函数展开$

* $[0,l]上展开为正弦函数$

## 题型

* 有关收敛定理的问题
* 讲函数展开为傅里叶级数



# 第十一章 向量代数在空间解析几何及多元微分学在几何上的应用



## 11.1 向量代数

### 数量积

$$
\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b| cos\alpha \\
\vec a\cdot \vec b=\vec a_x\vec b_x+\vec a_y\vec b_y+\vec a_z\vec b_z\\
$$

* 交换律
* 分配律

* 求模
* 求夹角
* 判断两个向量垂直

### 向量积

$$
几何表示 \vec a\times \vec b 是一个向量，模|\vec a\times \vec b|=|\vec a||\vec b|sin \alpha
$$

*$\vec a\times \vec b =-(\vec b \times \vec a)$
* 分配律$\vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a \times \vec c$
* 判断两向量平行$\vec a//\vec b \Leftrightarrow \vec a \times \vec b=0$
* 求四边形面积
* 求同时垂直于a和b 的向量



### 混合积

$(\vec  a \vec b\vec c)=(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c$

* 运算规律

  轮换对称

  交换变号

* 几何应用

 $V_{平行六面体}=|(\vec a\vec b\vec c)|$

  判断三个向量共面

### 题型

* 向量的计算

## 11.2 空间平面 与直线

### 平面方程

* 一般式

 $Ax+By+Cz+D=0$

* 点法式

 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

* 截距式

 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

### 直线方程

* 一般式

* 对称式

 $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$

* 参数式

 $x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt$



### 平面与直线的关系

### 点到面的距离

$点(x_0,y_0,z_0)到Ax+By+Cy+D=0的距离$

$d=\frac{|Ax_0+By+0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

### 点到直线的距离

$$
点(x_0,y_0,z_0)到直线\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}\\ d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0|\}\times\{l,m,n\}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}
$$

## 11.3 曲面与空间曲线

### 曲面方程

一般式 F(x,y,z)=0 或者z=f(x,y)

### 空间曲线

* 参数方程

 $\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases}$

* 一般式

 $\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases}$

### 常见曲面

* 旋转面

  一条平面曲线绕平面上一条直线旋转
  
   $L是yoz平面上一条曲线，其方程是\begin{cases}f(y,z)=0\\ x=0\end{cases}，则\\ L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})$

* 柱面 平行定直线并沿定曲线移动的直线L,形成

* 二次曲面

  * 椭圆锥面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$，圆锥面$x^2+y^2=z^2$

  * 椭球面

  * 单页双曲面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

  * 双叶双曲面

     $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

  * 椭圆抛物面

    $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$

    

  * 旋转抛物面

     $z=x^2+y^2$

  * 双曲抛物面

    

  ### 空间曲线投影

$曲线 \Gamma :\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上投影曲线方程为\\ \begin{cases} H(x,y)=0 \\ z=0\end{cases} 消除z即可$



## 11.4 多元微分在几何应用

### 曲面的切平面与法线

$曲线F(x,y,z)=0，法向量：n=\{F_x,F_y,F_z\}$

$曲线z=f(x,y)，法向量：n=\{f_x,f)y,-1\}$

### 曲线的切线与法平面

$曲线\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases},切向量=\{x^\prime(t_0),y^\prime(t_0),z^\prime(t_0)\}$



$曲线\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases},切向量\vec {n_1}\cdot \vec{n_2}$



# 第十二章 多元积分学及其应用

## 12. 1 三重积分

### 定义

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^n f(\delta_k,\eta_k,\xi_k)\Delta v_k$$

### 性质

### 计算

* 直角坐标

  * 先一后二
  * 先二后一

* 柱坐标

  被积函数$\phi(z)g(\sqrt{x^2+y^2})$

  被积域 为域

 $\begin{cases}x=\rho cos\theta,0\le\rho<+\infty \\ y=\rho sin\theta ,0\le \theta\le 2\pi \\  z=z ,-\infty <z<+\infty\end{cases}$

* 球坐标

  被积区域为球

  被积函数为$f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$

* 奇偶性

* 对称性

## 12.2 曲线积分

### 对弧长的线积分(第一类线积分)

函数值乘以弧长

* 定义
$$
  \int_Lf(x,y)ds=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\eta_i,\xi_i)\Delta s
$$

* 性质

  和路径无关

* 计算方法

  * 直接法

   $\int_C f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta  f(x(t),t(t))\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt$

   $\int_C f(x,y)ds=\int_a^b f(x,y(x))\sqrt{+y^{\prime2}(x)}dx$

   $若C:\rho=\rho(\theta) ,\alpha\le\theta\le\beta \\ \int_C f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(\rho(\theta)cos\theta,\rho(\theta)sin\theta)\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho^{\prime 2}(\theta)d\theta}$

  * 利用奇偶性

  * 利用对称性

  * 空间曲线L的方程

   $\int_L f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime2 }(t),y^{\prime2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$

### 对坐标的线积分(第二类线积分)

函数值乘以x上投影，y上的投影

* 定义

 $\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n P(\varphi_i,\xi_i)\Delta x_i +Q(\varphi_i,\xi_i)\Delta y_i$

* 性质

  和方向有关

* 计算方法（平面）

  + 直接法

   $L=\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases},t\in[\alpha,\beta]，则$

   $\int_L Pdx+Qdy=\int_\alpha^\beta [P(x(t),y(t))x^{\prime}(t),Q(x(t),y(t))y^{\prime}(t)]dt$

  + 格林公式

    使用条件为封闭空间

   $\int_L Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$

  + 利用线积分与路径无关

   $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}区域单连通$

    改变路径

* 计算方法(空间)

  * 直接法
  * 斯托克斯公式（空间曲线)



## 12.3 曲面积分

### 对面积的面积分(第一类面积分)

* 定义

 $\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\eta_i,\xi_i,\varphi_i)\Delta S_i$

* 性质

* 计算方法

  * 直接法

   $\sum:z=z(x,y),(x,y)\in D$

   $\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d\sigma$

  * 利用奇偶性

  * 利用对称性



### 对坐标的面积分(第二类面积分)

* 定义

* 性质

  有正负号有区分

* 计算方法

  

  * 直接法

   $z=z(x,y),(x,y)\in D$

   $$\iint_\sum R(x,y,z)dxdy=\pm \iint_DR(x,y,z(x,y))d\sigma$$

    

  * 高斯公式

   $\oiint_{\sum_外}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$

  

  * 补面用高斯公式

* 两类面积分的连续

## 12.4 多元积分应用

|          | 平面板 | 空间体 | 曲线 | 曲面 |
| -------- | ------ | ------ | ---- | ---- |
| 质量     |        |        |      |      |
| 质心     |        |        |      |      |
| 转动惯量 |        |        |      |      |
| 几何度量 |        |        |      |      |



* 变力做功
* 通量

## 12.5 场论初步

### 方向导数

$$
若z=f(x,y)可微，则\\
\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta
$$



### 梯度

梯度是一个向量，方向为最大的值
$$
gradu=\frac{\partial u}{\partial x} i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k
$$


###  散度

是一个数
$$
设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\}
\\ divA=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$


### 旋度

$$
设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\}
\\ 
rotA=\begin{vmatrix}
i &j&k \\
\frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
P&Q&R
\end{vmatrix}
$$



# 错题集锦

## 高数部分

* | 题目                                                         | 解析                                                         | 答案 |
  | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ | ---- |
  | $下列函数f(x)中，导函数f^\prime在x=0 处不连续的是\\ A.f(x)=\begin{cases}x^{\frac{4}{3}}sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{cases} \;\;\; B.f(x)=\begin{cases}\frac{sinx}{x},x\ne 0\\ 1,x=0\end{cases}$ | $设f(x)=\begin{cases}\mid x\mid^\alpha sin\frac{1}{x},x\ne0\\ 0,x=0\end{cases},\\ 则f(x)在x=0 处连续，a>0 \\在f(x)在x=0处可导，a>1 ，\\ 在x=0 处f^\prime(x)连续，a>2$ | A    |

  

* | 题目                                                         | 解析 | 答案 |
  | ------------------------------------------------------------ | ---- | ---- |
  | $以下四个问题，正确的是\\ A.若f^\prime 在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界\\ B.若f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界\\ C. 若f^\prime(x)在(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界$ |      | C    |




* | 题目 | 解析 | 答案 |
  | ---- | ---- | ---- |
  |      |      |      |

* | 题目 | 解析 | 答案 |
  | ---- | ---- | ---- |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
  | ---- | ---- | ---- |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
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* | 题目 | 解析 | 答案 |
  | ---- | ---- | ---- |
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